Einführung
Als ich Infinitesimalrechnung lernte, wurde die intuitive Idee der Infinitesimalzahl verwendet. Dabei handelt es sich um reale Zahlen, die so klein sind, dass sie aus praktischen Gründen (z. B. 1/Billion hoch eine Billion) weggeworfen werden können, weil sie vernachlässigbar sind. Auf diese Weise stoßen Sie beispielsweise beim Definieren der Ableitung nicht auf 0/0, sondern können bei Bedarf Infinitesimalzahlen als vernachlässigbar verwerfen.
Dies ist gut für angewandte Mathematiker, Physiker, Aktuare usw., die es als Werkzeug für ihre Arbeit nutzen möchten. Aber Mathematiker räumen zwar ein, dass es in Ordnung ist, so zu beginnen, müssen aber irgendwann mithilfe von Handwellen-Argumenten Korrekturen vornehmen und logisch fundiert sein. Die übliche Vorgehensweise ist die Verwendung von Grenzwerten.
Stattdessen werde ich die Idee der Infinitesimalzahlen als legitim rechtfertigen. Nicht mit aller Strenge; Das überlasse ich Fachtexten, aber genug, um diejenigen zufrieden zu stellen, die sich für die grundlegenden Ideen interessieren. Um 1960 machten Mathematiker (insbesondere Abraham Robinson) etwas Raffiniertes. Sie schufen hyperreale Zahlen, die aus reellen Zahlen und tatsächlichen Infinitesimalzahlen bestehen. Ich habe auch eine erweiterte Version geschrieben, die detaillierter geht, einschließlich einer Einführung in die echte Analyse. Das liest man am besten, nachdem man einen Text über Infinitesimalrechnung studiert hat. Dies kann als Vorbereitung für einen Text zur Infinitesimalrechnung gelesen werden.
Infinitesimalzahlen sind Zahlen x mit einer sehr seltsamen Eigenschaft. Wenn X eine positive reelle Zahl ist -X<x
Ich werde einen weiteren Einblicksartikel schreiben, der die Analysis als Ergänzung zu einem US-amerikanischen Algebra 2- und Trigonometriekurs verwendet. Etwas ironisch – Infinitesimalrechnung zur Vorbereitung auf die Infinitesimalrechnung. Diejenigen, die diese Reihenfolge befolgt haben, sind gut auf das Studium eines Lehrbuchs zur Infinitesimalrechnung vorbereitet. Viele sind günstig auf Amazon erhältlich, aber hier schlage ich eine kostenlose Version vor (die Papierversion ist günstig auf Amazon erhältlich), die einen intuitiven Ansatz für Infinitesimalzahlen verwendet – Full Frontal Calculus:
https://www.bravernewmath.com/
Ein weiteres gutes Buch ist Calculus Made Even Easier, das günstig bei Amazon erhältlich ist.
Die Hyperrationalen
Die Hyperrationalen sind alle Folgen rationaler Zahlen. Zwei Hyperrationale, A und B, sind bis auf eine endliche Anzahl von Termen gleich, wenn An = Bn. Allerdings werden Hyperrationale, sofern sie nicht ausdrücklich als Sequenzen bezeichnet werden, als ein einzelnes Objekt betrachtet. Es handelt sich um ein sogenanntes Urelement. Es handelt sich um einen Teil der formalen Mengenlehre, den der Leser bei Bedarf untersuchen kann – dazu gibt es einen Wikipedia-Artikel. Wenn zwei Sequenzen gleich sind, werden sie als dasselbe Objekt betrachtet. Dies wird oft dadurch ausgedrückt, dass sie zur gleichen Äquivalenzklasse gehören und die Äquivalenzklasse als ein einzelnes Objekt betrachtet wird. Da es sich jedoch um einen Anfängerartikel handelt, möchte ich mich nicht weiter mit der Mengenlehre befassen, sondern verwende lediglich die Idee eines Urelements, das leicht zu verstehen ist. A < B ist definiert als Am < Bm, mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Termen. Ähnliches gilt für A > B. Beachten Sie, dass es pathologische Sequenzen wie 1 0 1 0 1 0 gibt, die weder =, > noch kleiner als 1 sind. Wir verlangen, dass alle Sequenzen entweder =, >, < alle rationalen Zahlen sind. Wenn nicht, ist es gleich Null.
Wenn F(X) eine rationale Funktion ist, die auf den Rationalen definiert ist, kann dies leicht auf die Hyperrationalen durch F(X) = F(Xn) erweitert werden. A + B = An + Bn, A*B = An*Bn. Aufgrund der Division durch Null wird keine Division definiert. Stattdessen wird 1/X als Erweiterung 1/Xn definiert und Terme, die 1/0 sind, werden weggeworfen. Wenn das nicht funktioniert, ist 1/X undefiniert. Wenn X eine rationale Zahl ist, dann ist die Folge Xn = XXX …… die hyperrationale Zahl der rationalen Zahl
Wir werden zeigen, dass die Hyperrationalen tatsächliche Infinitesimalzahlen enthalten. Sei X eine beliebige positive rationale Zahl. Sei B das hyperrationale Bn = 1/n. Unabhängig davon, welcher Wert X ist, kann dann ein N gefunden werden, so dass 1/n < < X für jede positive rationale Zahl, daher ist B eine tatsächliche Infinitesimalzahl.
Außerdem haben wir Infinitesimalzahlen, die kleiner sind als andere Infinitesimalzahlen, z. B. 1/n^2 < 1/n, außer wenn n = 1.
Beachten Sie, dass, wenn a und b infinitesimal sind, auch a+b und a*b verschwindend klein sind. Um das zu sehen; wenn X irgendein positives rationales |a| ist < X/2, |b| < X/2 dann|a+b| < X. Ebenso |a*b| < |a*1| = |a| < |X|.
Hyperrationale Zahlen enthalten auch unendliche Zahlen, die größer als jede rationale Zahl sind. Sei A die Folge An=n. Wenn X eine rationale Zahl ist, gibt es ein solches N für alle n > N, dann ist An > Gerade 1 + n > n für alle n.
Wenn eine Hyperrationalität nicht unendlich klein oder unendlich groß ist, heißt sie endlich oder beschränkt. Formal handelt es sich um Hyperrationale, X, so dass |X| < Q für ein rationales Q.
Beachten Sie auch, dass a/a = 1 ist, wenn a ein positiver Infinitesimalwert ist. 1/a kann nicht infinitesimal sein, da a/a dann infinitesimal wäre. Ebenso kann es nicht endlich sein, da es ein N, |1/a|, geben würde < N und a/a wäre verschwindend klein. Daher ist 1/a unendlich groß.
Reale Nummern
Da es sich um einen Anfängerartikel handelt, hat der Leser wahrscheinlich noch keine genauen Definitionen von ganzen Zahlen, rationalen Zahlen und reellen Zahlen gesehen:
http://www.math.uni-konstanz.de/~krapp/research/Presentation_Contruction_of_the_real_numbers_1
Das Obige ist fortgeschrittener als die Zielgruppe, die ich für diesen Artikel im Sinn hatte. Es werden Fachbegriffe verwendet, die ein Anfänger wahrscheinlich nicht kennt. Allerdings konnte ich keinen auf der entsprechenden Ebene finden. Ein Anfänger wäre jedoch wahrscheinlich in der Lage, es zu lesen und den allgemeinen Kern zu verstehen. Ich kann mir vorstellen, dass ich einen Insights-Artikel auf einer angemesseneren Ebene verfassen muss.
Wie man sieht, gibt es mehrere Möglichkeiten, reelle Zahlen zu definieren. Dabei werden die Konstruktionsmethoden endlicher Hyperrationale und Dedekind-Schnitte verwendet.
Ein Dedekind-Schnitt ist eine Aufteilung der rationalen Zahlen in zwei Mengen A und B, sodass alle Elemente von A kleiner sind als alle Elemente von B und A kein größtes Element enthält. Jede reelle Zahl R wird durch einen Dedekind-Schnitt definiert. Da B alle Rationalzahlen umfasst, die nicht in A enthalten sind, wird ein Dedekind-Schnitt tatsächlich durch A allein definiert. Eine Menge A von Rationalzahlen, die kein größtes Element hat und jedes Element, das nicht in A enthalten ist, größer ist als jedes Element in A, definiert einen Dedekind-Schnitt und eine reelle Zahl R. Sei X eine beliebige endliche Hyperrationalität. Sei A die Menge der Rationalzahlen < X. A ist ein Dedekind-Schnitt. Daher definiert sich X als reelle Zahl R. Wenn Y unendlich nahe an X liegt, dann ist die Menge der rationalen Zahlen < Das liegt daran, dass die Differenz eine endliche hyperreale Zahl ist und eine reelle Zahl Z definiert. R≠S. Dies führt zu einer neuen Definition der Realzahlen. Zwei endliche Hyperreale sind gleich, wenn sie unendlich nahe beieinander liegen. Die unendlich nahe beieinander liegenden Hyperrealen werden durch dasselbe Objekt bezeichnet. Diese Objekte sind die Realen.
Die Hyperrealen
Nachdem wir nun wissen, was reale Zahlen sind, können wir Hyperrationale auf hyperreale Zahlen erweitern, also auf alle Folgen von reellen Zahlen. Die Hyperrationalen sind eine echte Teilmenge der Hyperrealen. Wie zuvor ist die reelle Zahl A die Folge An = AAAA…………… Ähnlich wie bei hyperrationalen Zahlen kann F(X) eine auf den reellen Zahlen definierte Funktion sein, die leicht auf die hyperrealen Zahlen durch F(X) = F(Xn) erweitert werden kann ). A + B = An + Bn. A*B = An*Bn. Zwei Hyperreale, A und B, sind bis auf eine endliche Anzahl von Termen gleich, wenn An = Bn. Sie werden wie üblich als ein einzelnes Objekt behandelt. Wir definieren A < B und A > B auf ähnliche Weise, dh sie unterscheiden sich nur um eine endliche Anzahl von Termen. A + B = An + Bn. A*B = An*Bn. Wir haben Infinitesimalzahlen und unendlich große hyperreale Zahlen. Auch hier werden pathologische Sequenzen auf Null gesetzt.
Wir wollen zeigen, ob X ein endliches Hyperreal ist, dann hat Sei A die Menge aller rationalen Zahlen < X. A ist ein Dedekind-Schnitt, der ein reelles R definiert. R = st(X). Daher ist jedes endliche hyperreale X die Summe von R + r, wobei R eine reelle Zahl st(X) und r eine Infinitesimalzahl ist. Da r ein Infinitesimalwert ist, kann er bei Bedarf legitimerweise weggeworfen werden.
Dies ist nur ein Überblick über ein reichhaltiges Thema. Ich habe auch einen Einblicksartikel auf einem fortgeschritteneren Niveau geschrieben. Dieser Artikel soll lediglich eine vereinfachte Darstellung der Infinitesimalzahlen für diejenigen geben, die wissen möchten, wie sie gerechtfertigt sind. Der fortgeschrittenere Artikel geht tiefer und bietet auch eine Einführung in die reale Analyse. Dieser Artikel sollte am besten nach dem Artikel „Infinitesimalrechnung und Algebra 2“ gelesen werden. Die fortgeschrittenere Version, einschließlich einer Einführung in die reale Analysis, sollte am besten nach der Lektüre eines auf Infinitesimalrechnungen basierenden Textes wie „Full Frontal Calculus“ oder „Calculus Made Even Easier“ gelesen werden.
Wie es angewendet wird
Dieser Teil stammt aus dem fortgeschritteneren Artikel. Es wird hier gegeben, um zu zeigen, wie es in der Praxis verwendet wird und wie einige der Argumente in Texten zur Infinitesimalrechnung gerechtfertigt werden können. Es ist lehrreich und macht Spaß, die Infinitesimalargumente in einem Analysistext durchzugehen und zu sehen, wie Hyperreale verwendet werden, um intuitive Argumente beim Studieren des Textes zum Ausdruck zu bringen. Sicherlich wäre es eine gute Idee, dies nach der Lektüre des Textes zu tun.
Zum Beispiel d(x^2) = (x+dx)^2 – x^2 = 2xdx + dx^2 = dx*(2x +dx). Da dx jedoch kleiner als jede reelle Zahl ist, kann in (2x+dx) vernachlässigt werden, sodass sich einfach 2x ergibt. d(x^2) = 2xdx oder d(x^2)/dx = 2x.
Die Definition von Derivat ist einfach. dy/dx = st((y(x+dx) – y(x))/dx)
Die Stammfunktion einer Funktion f(x) ist einfach eine Funktion F(x) mit dF/dx = f(x). Das unbestimmte Integral ∫f(x)*dx ist definiert als F(x) + C, wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist. Alle Stammfunktionen haben die Form F(x) + C, wobei C eine beliebige Konstante ist. Es handelt sich eigentlich nicht um eine Funktion, sondern um eine Familie von Funktionen, die sich jeweils durch eine Konstante unterscheiden, die für jede Funktion unterschiedlich ist. Und nicht nur das: Wenn F(x) ein Mitglied der Familie ist, gilt auch F(x) + C, wobei C eine beliebige Konstante ist. Alle Mitglieder dieser Familie sind Stammfunktionen von f(x). Diese Notation ermöglicht die einfache Ableitung der wichtigen Formel zur Variablenänderung. ∫f*dy = ∫f*(dy/dx)*dx. Es wird oft bei der eigentlichen Berechnung von Integralen – oder genauer gesagt Stammfunktionen – verwendet.
Bewerbung für den Bereich
Ohne eine Vorstellung davon zu haben, was eine Fläche ist, ergibt sich aus der Definition des unbestimmten Integrals ∫1*dA = ∫dA = A + C, wobei A das Ding namens Fläche ist. Eine Änderung der Variablen ∫dA = ∫(dA/dx)*dx durchführen. Sei f(x) = dA/dx. ∫f(x)*dx = A(x) + C. Aufgrund der willkürlichen Konstante C haben wir daraus keine Definition von A. Aber beachten Sie etwas Interessantes. A(b) – A(a) = A(b) + C – (A(a) + C). Jetzt ist die beliebige Konstante C verschwunden. Dies führt zu der folgenden eindeutigen Definition der Fläche A zwischen a und b. Wenn A(x) eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist, ist die Fläche zwischen a und b = A(b) – A(a). Es erhält einen besonderen Namen – das bestimmte Integral mit der Bezeichnung ∫(a bis b)f(x)dx = A(b) – A(a), wobei A(x) eine Stammfunktion von f(x) ist. Wir wissen mit guter Näherung, dass die Fläche unter f(x) von x bis x+Δx f(x)*Δx ist, wenn Δx klein ist. Es ist genau, wenn Δx = 0, aber dann ist die Fläche Null. f(x)dx kann man sich als eine unendlich kleine Fläche vorstellen. Damit ist in guter Näherung ΔA = f(x)Δx gemeint. Die Näherung wird besser, je kleiner Δx wird. Es wäre exakt, wenn Δx = 0, mit Ausnahme eines Problems, ΔA = 0. Um dies zu umgehen, erweitern wir ΔA auf die Hyperrealen und da = f(x)dx. Aber dx kann vernachlässigt werden. So können wir unseren Kuchen haben und ihn essen. dx ist effektiv Null, daher ist die Näherung exakt, aber es ist nicht Null, sodass dv nicht Null ist. Auf diese Weise können andere Dinge wie das Rotationsvolumen definiert werden. Wenn Δx klein ist, beträgt das Rotationsvolumen um f(x), ΔV, in guter Näherung f(x)^2*Π*Δx, wobei die Näherung umso besser wird, je kleiner Δx wird. Um genau zu sein, müsste Δx Null sein, aber dann ist ΔV, das Rotationsvolumen, Null. Ähnlich wie bei der Fläche, die wir wollen, soll Δx effektiv Null sein, aber nicht Null. Eine Erweiterung der Formel auf die hyperrealen Werte dV wäre dV = f(x)*Π*r^2*dx. ∫dV = ∫f(x)^2*Π*dx und das Volumen kann berechnet werden. Das Gleiche gilt für die Oberfläche.
